Point de vue bayésien - Math'φsics

Point de vue bayésien

Formulaire de report
Problème d'affichage Contenu de la note peu pertinent

Point de vue bayésien Point de vue consistant à considérer le paramètre \(\theta\) comme aléatoire, suivant une Loi \(\pi\) sur \((\Theta,{\mathcal B}_\Theta)\).
- la loi \(\pi\) peut refléter nos croyances ou informations sur le paramètre
- on appelle \(\pi\) la loi à priori sur \(\Theta\)
- en supposant que \(\forall B\in\mathcal A\), \(\theta\mapsto{\Bbb P}_\theta(B)\) est mesurable, on peut introduire la Probabilité \({\Bbb P}\) sur \((\Theta\times\Omega,{\mathcal B}_\Theta\otimes\mathcal A)\) par une définition sur les Cylindres : $${\Bbb P}(A\times B)=\int_A{\Bbb P}_\theta(B)\,d\pi(\theta)$$
- on écrira souvent \({\Bbb P}(d\theta,d\omega)\) \(=\) \(\pi(d\theta){\Bbb P}_\theta(d\omega)\)
Exercices

On connait \(f_\theta(x|\theta)\) et \(f_\theta(\theta)\).

On va calculer la loi à posteriori en utilisant la Formule de Bayes, en raisonnant par proportionnalité pour virer le coefficient de normalisation (vu par \(\theta\)) (sinon le calcul est trop chiant).

Faire le calcul.

On reconnaît une loi normale, dont on identifie les paramètres.

On peut prendre l'espérance de \(g(\theta)\) connaissant \(X\).

Cette valeur est donnée par la question précédente (loi a posteriori).

On va calculer l'intégrale en conditionnant d'abord par l'une des deux variables.

On intègre d'abord selon \(\theta\), ce qui nous permet d'obtenir une belle formule d'EMV.

On vire la constante du calcul de la variance.

Cette valeur est donnée par un calcul précédent (loi a posteriori).

On calcule le risque via une formule du cours.

Ce risque n'est pas borné en \(\theta\), donc l'estimateur n'est pas minimax.
Rétroliens :
- Lois conjuguées
- Risque intégré